Topological aspects of maps between surfaces

Born, Janis Sebastian; Kobbelt, Leif (Thesis advisor); Ovsjanikov, Maks (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2022)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2022

Kurzfassung

Die Erzeugung von Abbildungen zwischen Oberflächen von 3D-Objekten ist eine wiederkehrende Aufgabe in der Geometrieverarbeitung. Dabei liegt ein besonderes Augenmerk auf hochqualitativen Abbildungen, die besonderen Korrektheitsanforderungen hinsichtlich Stetigkeit oder Bijektivität genügen. Solche Homöomorphismen definieren nicht nur eine geometrische Korrespondenz zwischen allen Oberflächenpunkten, sondern auch eine topologische Zuordnung globaler Oberflächenmerkmale wie Löcher, Henkel oder Tunnel. Die Konstruktion eines natürlichen, verzerrungsarmen Homöomorphismus zwischen zwei gegebenen Oberflächen ist daher eine äußerst filigrane Aufgabe, welche die Berücksichtigung sowohl kombinatorischer (topologischer), als auch kontinuierlicher (geometrischer) Freiheitsgrade erfordert. Es gibt zwar automatische Methoden zur Optimierung von bereits existierenden Homöomorphismen, jedoch beschränken sich diese auf rein kontinuierliche geometrische Verbesserungen und erlauben keine topologischen Korrekturen. Es mag daher überraschen, dass viele bisherige Algorithmen zur Initialisierung von Homöomorphismen sich wenig darum bemühen, die korrekte Abbildungs-Topologie zu finden: Diese wichtige Aufgabe wird entweder bloß durch (unzuverlässige) Heuristiken gesteuert oder gänzlich der Eingabe der Nutzer:in überlassen. Bislang steht dieser Mangel an topologisch robusten Initialisierungsmethoden einer vollständigen Automatisierung der Erzeugung von Oberflächenabbildungen im Weg. Ziel dieser Arbeit ist daher die Beschreibung neuer Algorithmen, welche sich explizit der topologischen Schwierigkeiten in der Konstruktion von Homöomorphismen annehmen, um diese Automatisierungslücke zu schließen. Theoretische Grundlage dafür ist die Betrachtung der Abbildungsklassengruppe (mapping class group) von Oberflächen, welche eine systematische Beschreibung aller möglichen Abbildungs-Topologien erlaubt. Ausgehend von verschiedenen Repräsentationen dieser Gruppe wählen wir zwei unterschiedliche Herangehensweisen: Wir präsentieren einerseits einen robusten Algorithmus zur Konstruktion von Abbildungen aus vorgegebenen Punkt-Korrespondenzen, basierend auf Einbettungen eines gemeinsamen Zellkomplexes. Unsere Methode sucht systematisch nach natürlichen, möglichst kurzen Einbettungen und vermeidet so die typischen sporadisch auftretenden Initialisierungsfehler vorheriger Methoden, welche bloß heuristisch vorgehen. Daneben beschreiben wir ein neues Verfahren zur Erstellung rein topologischer Beschreibungen von bereits gegebenen Oberflächenabbildungen. Solche rein abstrakten Beschreibungen können dann zur Festlegung der topologischen Freiheitsgrade neuer Abbildungen herangezogen werden. Unser Analyseverfahren unterstützt eine Reihe gängiger, insbesondere nicht-homöomorpher Abbildungsdarstellungen und verarbeitet selbst fehler- oder lückenhafte Eingabedaten. Dies ermöglicht erstmals die Nutzung spezialisierter Shape-Matching-Verfahren zur vollautomatischen Bestimmung semantischer Korrespondenzen, deren topologische Struktur schließlich durch unser Verfahren zur Herstellung von Homöomorphismen nutzbar gemacht wird. Diese Neuerungen bieten somit zuverlässige und automatische Alternativen zu bisherigen Erzeugungsmethoden von Oberflächenabbildungen. Sie erfordern ein wesentlich geringeres Maß an menschlicher Interaktion und Beaufsichtigung und machen gleichzeitig die Ergebnisse vollautomatischer Korrespondenzverfahren für topologische Konstruktionen nutzbar.