Global derivatives

• Globale Ableitungen

Deussen, Jens; Naumann, Uwe (Thesis advisor); Mitsos, Alexander (Thesis advisor)

Aachen : RWTH Aachen University (2021, 2022)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2021

Kurzfassung

Die Berechnung von Ableitungsinformation numerischer Simulationen ist eine wichtige Aufgabe für die Quantifizierung von Parametersensitivitäten und für Optimierungszwecke. Algorithmisches Differenzieren (AD) bietet exakte Ableitungen bei geringem Implementierungsaufwand für den Benutzer und hoher Wartbarkeit des Computerprogramms. Die rekursive Anwendung von AD-Methoden ermöglicht die Berechnung von höheren Ableitungen. Diese Arbeit demonstriert wie AD-Modelle höherer Ordnung durch Ausnutzung von Symmetrie und Dünnbesetztheit effizient zur Berechnung höherer Ableitungen eingesetzt werden können. Zu diesem Zweck werden Algorithmen zur Graphenfärbung eingesetzt. Während herkömmliche AD-Methoden Ableitungsinformation berechnet, die nur lokal an einem bestimmten Punkt gültig ist, werden in dieser Arbeit Methoden vorgeschlagen, die einen garantierten Einschluss der Ableitungsinformation auf einem bestimmten Definitionsbereich berechnet. Diese Einschlüsse werden als globale Ableitungen (engl.\ global derivatives) bezeichnet. Die Globalisierung der Ableitungsinformation kann durch die Anwendung der Intervallarithmetik, z.B. der natürlichen Intervallerweiterung, erreicht werden. Naive Intervallberechnungen sind anfällig für eine Überschätzung der tatsächlichen Wertebereiche. Es werden Sonderfälle identifiziert, in denen die natürliche Intervallerweiterung der AD-Methoden die exakten Wertebereiche der globalen Ableitungen berechnet. Darüber hinaus werden mit der Mittelwertform und McCormick Einschließungen von AD-Methoden besser konvergierende Alternativen angeboten. Es werden zwei Anwendungen diskutiert, die von globalen Ableitungen profitieren: Deterministische globale Optimierung mittels Branch-and-Bound-Methoden und Signifikanz-getriebene Approximationsberechnungen. Im Rahmen der Fallstudie zur globalen Optimierung wird die Teilbereichsseparierbarkeit eingeführt. Diese lokale Eigenschaft ermöglicht die Aufteilung eines Optimierungsproblems auf Teilbereichen, auf denen eine bestimmte Monotoniebedingung erfüllt ist. Sowohl die Verwendung globaler Ableitungen, als auch die Teilbereichsseparierbarkeit beschleunigen die Konvergenzgeschwindigkeit des globalen Lösers enorm. Eine zweite Fallstudie zeigt, wie künstliche neuronale Netzwerke mit Hilfe von Signifikanzwerten automatisch ausgedünnt werden können. Die Ergebnisse illustrieren den Nutzen von globalen Ableitungen für Approximationsberechnungen.

Einrichtungen

• Fachgruppe Informatik [120000]
• Lehr- und Forschungsgebiet Informatik 12 (Software und Werkzeuge für Computational Engineering) [123120]